«ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ РАМАНУДЖАНА» ― моя первая (из ~100) чисто-математическая и, одновременно, самая короткая статья, содержащая менее сотни слов и состоящая всего из 4-х предложений:
Сообщение опубликовано в академическом журнале «Математические заметки» (том 79, выпуск 3, март 2006, с.470–471) и посвящено обобщению формулы Рамануджана, связывающей сумму бесконечного ряда и бесконечной непрерывной (цепной) дроби с трансцендентными числами π и e.
Советский математик и историк математики В.И. Левин в своей брошюре «Рамануджан» (М.: Знание, 1968) из которой взята эта формула, пишет:
«сочетание в одной формуле двух различных аппаратов [имеются в виду ряды и непрерывные дроби] факт чрезвычайно редкий»;
он называет её «единственной в своём роде» и отмечает:
«эта формула указывает на существование очень глубоких зависимостей между определённым классом степенных рядов и цепными [непрерывными] дробями. Надо полагать, что Рамануджан владел какими-то более общими фактами в этом направлении, которые, однако, остались неизвестными».
Я обнаружил обобщение формулы Рамануджана сначала экспериментально с помощью компьютерной системы аналитических вычислений Maple, а затем доказал его, используя приведённые в брошюре В.И. Левина выдержки из письма Рамануджана к английскому математику Г.Х. Харди и некоторые другие математические факты, которые также могли быть известны Рамануджану.
Гениальный индийский математик-самоучка Сриниваза Рамануджан Айенгар (Ramanujan, 1887―1920) обладал исключительной математической интуицией и мог своими уникальными методами обнаруживать самые неожиданные математические формулы, как "простые" арифметические
так и связанные с непрерывными дробями, крупнейшим в мире знатоком которых он считается до сих пор; например в письме к Харди он приводил следующие (недоказанные и сейчас?) замечательные математические тождества (1-е приводится с некоторыми изменениями):
Непрерывные дроби являются интересными математическими объектами. Известно, что все ирррациональные числа представляются непериодическими десятичными дробями, в то время как квадратичныые иррациональности (действительные корни квадратных уравнений с целыми коэффициентами) представляются периодическими непрерывными дробями, например:
Цифры в десятичных разложениях трансцендентных чисел e и π чередуются совершенно нерегулярным образом, но, как показал работавший долгое время в России швейцарский математик, механик, физик и астроном Леонард Эйлер (1707―1783), их разложения в непрерывные дроби имеют вполне регулярный вид:
