«Математические заметки», том 79, выпуск 3 (март 2006), с. 470–471

 

ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ РАМАНУДЖАНА

В.С. Булыгин

 

Замечательная формула Рамануджана, связывающая бесконечный ряд и бесконечную непрерывную дробь (см. [1, с. 33])

         (1)

является частным случаем (при x = 1) следующего соотношения, связывающего степенной ряд и функциональную непрерывную дробь: [в оригинале статьи далее использована линейная запись непрерывных дробей]

          .            (2)

Степенной ряд в (2) связан с вырожденным гипергеометрическим рядом и является разложением функции

         ,                                            (3)

где  – интеграл вероятности, поскольку (см. [2, формула (9.9.1)])

,

где

― вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера).

Из формулы Лапласа, доказанной Якоби и переоткрытой Рамануджаном (см. [1, с. 14, формула (8)])

                     ,

которую можно переписать в виде

                  

при   следует:

  ,

 что  после сложения с (3) доказывает формулу (2).

Поскольку основные формулы вышеприведённого доказательства должны были быть известны Рамануджану, можно предположить, что ему была также известна и формула (2), с помощью которой он и записал своё эффектное соотношение (1).

 

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Левин В. И.  Рамануджан. М.: Знание, 1968.

2.     Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Физматгиз, 1966.